复数真的包含实数吗？要如何看待 i^2=-1

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

在上一篇文章中，讨论了复数域下负数有没有对数这一个问题，有位读者评论到复数和实数不能够混为一谈，复数是一种二元数。

这个问题引起了我的思考，的确，复数是由两个变量组成的数，而实数仅仅只是一个数，复数更多的应该被表示为是一个数对。

为了能够弄清楚这一问题，我翻阅比较了一些资料，这里拿出来，大家可以一起来交流思考一下。

虚部为0 时，复数被简记为实数

首先，在人教版的高中数学必修 2 的教材中，对于复数的概念是这样定义的：

即，复数是由实部和虚部两个部分的数组成，这两个部分的数都是实数。

如果在这种定义下，对于任何一个数，如果是复数，那么就应该是两个数去表示，比如复数 ，它应该用 来表示 。

但同时呢，课本中还谈到了这样的一句话，即

对于复数的特殊形式是实数和纯虚数，这一点就产生了矛盾，因为实数仅仅用数本身来表示就可以了，比如说实数域下的实数 1，他的表示就是 1，但是复数域下的数 1，应该用 ，或者用 来表示，这是一个数对，并不是一个实数的范畴了。

这意味着什么呢？就是说，实数并不是包含于复数中的，至少在表示形式上，是不相关的。

这一点是我不曾想到的，从始至终，我都是认为复数本身就包括实数，但是如果真的从复数的这种定义上，去看待复数的表示的话，实数和复数之间的确有一条鸿沟。

为了求证，我翻阅了一些高等数学教材，比如在哈尔滨工业大学出版的《复变函数与积分变换》中，对于复数是这样进行定义的：

这里说法同样是，全体实数是复数的一部分。

但不同的是这里提到了，当虚部为 0 的时候，我们直接将复数写为实数 ，是一种简记的写法，也就是文中提到的“虚部为零的复数为实数，简记为 ”。

也就是说，当虚部为零的时候，我们一般写成的 x 实际上是一种简单的写法，本质上还是应该写为 。

如果说这里还是不明显，在由大连理工大学出版社出版，张顺燕老师撰写的《复数、复函数及其应用》中，有这样的一段论述：

这里不仅仅明确的谈到了，我们是将虚部等于零的复数 看做是和它的实部一样的数。

并且说了，实数是其实是复数的一种特殊的情况。

我想这个特殊不仅仅是体现在虚部等于 0 的特殊，还是对于表达形式的特殊，因为在这部分中，只谈到了对实数这种特殊性的说明，但是并没有谈及对于纯虚数的说明。

当虚部等于0 的时候，并不是说这时候复数本身就是等于实数的，而是我们所采取的一种特殊的表示形式。

i^2=-1 应该从复数的角度去理解

实际上，这种表达的误区，在最初我们理解复数的时候就已经出现了，比如说我们遇到的那个经典的复数应用的问题 ，到底有没有解？

这里我们是在实数的角度下去讨论的，得到的结果就是方程无解，之后我们谈到，在复数的视角下，这样的方程就是有解的，两个解就是 x= i 和 x=-i，而得到两个解的关键，就是我们规定的 这一项。

从这样的思路就很容易造成一种误区，即虚数相乘等于实数，因为最初的方程是讨论的x 的平方项等于一个实数无解的情况，而通过规定虚数单位 i 的平方等于这个“实数”，就使得方程获得了解，也就自然而然的将虚数的平方和实数联系在了一起。

但是实际上，这里的表达式 ，应该从复数的角度去看待才更加的合理。

什么意思呢？

就是说这里的 应该看为是复数 ，这里的 应该看成的是，这样也就有 ，也才显得更加合理。

并且这样看也更加符合复数的几何表示（这一点限于文章篇幅，后续介绍）

如果实数真的包含于复数，那为什么实数可以比较大小，但是复数不可以？

可能有的同学要问了，我为什么非要这样去理解呢？有什么用呢？

实际上，其实我们讲的实数包含于复数，他本身就是有一个矛盾点的，即实数可以比较大小，但是复数不可以比较大小。

这一点就很奇怪，如果真的包括实数，那为什么复数不可以比较大小，实数到底特殊在哪里？

复数其实也有一个表示大小的东西，即模长，比如说，对于一个复数 ，这个复数的模长就是 ，这和我们的向量模长的表达式很类似，实际上复数的模长表示的就是复数在复平面中所对应的向量的模长。

在中学数学中，我们教材的第一册上就写明了如何比较实数的大小，都是反映在数轴上的。所以说二元的数对无法比较大小，就是因为它们没有在一条数轴上，或者说没有在一条直线上。

比如说一个模长为二的复数，它是在所有的坐标轴中，或者说是在一个圆上的，因此它就是无法比较大小。

当虚部为零的时候，这个复数都是在数轴上，因此就可以套用到我们的实数中的比较大小的定义，即在数轴上的定义去定义大小了。

但是本质上我们的复数中的实数还是一个二元数对，它并不是我们传统意义上的实数，或者说此时复数中所表示的实数更多的是表示那些模长跟它的实部一样大的数。

究竟要怎样理解复数和实数呢?

其实，复数应该说是在实数概念上的一种扩展，因为复数的实部和虚部的取值都是实数。

除此以外，当虚部等于零的时候，我们大部分的教材都将其看为是实数，这其实是暗含了一种对应，即因为此时实数本身的性质和虚部为零的复数的性质是同构的，所以两者是可以互相转化的。

即因为此时实数本身的性质和虚部为零的复数的性质是同构的，所以两者是可以互相转化的。