计算力学的有限差分方法

有限差分法(Finite Difference Method)的基本思想是将求解区域划分为网络，然后在网格的结点上用差分方程近似代替微分方程，直接求解得出基本方程和相应的定解条件的近似解。当结点数较多时，近似解的精度能够得到保证。该方法主要用于区域形状较为规则的问题，区域几何形状复杂时计算精度往往有所降低。但对于某些问题,有限差分法有其独到的优势。

时至今日，有限差分法在流体力学等领域还占有重要地位。有限差分法具有简单、灵活和通用性强等特点。用差分方法求数值解时，须先将自变量的定义域“离散化”，即只企图算自变量定义域中有限个点的未知函数的近似值。如果自变量只有一个，则可把要计算的区间离散成个线段。如果自变量有两个，而计算区域是矩形，则最简单的离散方式是把区域分成乘个小矩形。小矩形的长和宽分别叫作方向和方向的步长。微分方程中出现的偏导数，在微积分中是差商的极限，在有限差分方法中则代以差商。如果有二阶偏导数，常常可代以二阶差商。如以适当的差商来代替微分方程每一个导数，就得到对应于原微分方程的差分方程。因此，怎样选差商至关重要。此外，偏微分方程总还要附加边界或初始条件，这些条件也要用差分形式表示。这样，对于每个网格点的未知函数值作出未知量的代数方程组。如果网格分得较密，即步长和都比较小，或与 的数值都比较大，则所得代数方程组的未知量的数目将很大，但借助计算机，还是可以很快求出解来。由于步长无法取为零，因此用差分方法只能求得原微分方程的近似解。但只要选择合理的差商和步长，计算结果仍能令人满意，有时还能得到精度很高的解。