有理函数积分

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将此真分式拆分成：

我们可以利用构造方程组法，将等式右边进行通分，根据待定系数法求出a，b，c。
但显然这个方法有点繁琐，所以我们用留数法。
什么是留数法呢？
以上述为例，先将等式两边同时乘以（x-1），然后右边就得到了a+==（x-1）（含b，c因子）==这时，直接令x=1,等式右边就只是留下了a，进而解出a。
同理，解出b和c。

解出a，b和c之后，就可以很快做出来这道题目了。

接下来我们看这道题目。

首先还是要进行拆分，这是一个真分式，而且分母也已经是最简形式了。

拆分之后，接下来我们需要解出a，b，c。
同样，我们使用留数法。
对于a，我们等式两边同时乘以x，然后令x=0,解出a。

我们如同上述，解出b，等式两边同时乘以（x+1）

但是此时这样做就有问题了！等式右边会出现无穷大的情况。
为什么会出现这种情况呢，这是因为有$\frac{c}{(x+1^2)}$。
遇到这类情况我们一般要先解决分母次数更高的那一项。对于这道题，即先解出c。

这时，只剩下b这个未知数了，我们可以利用特殊值法，将x=1代入等式，解出b。

在这里，我们也可以使用取极限法，如下。

接下来，我们看下一个例子。

首先初步判断，这是一个假分式，我们需要将其进行拆分成一个x的多项式＋一个真分式。

对于x的积分，我们是清楚的，主要要解决第二项这个真分式。
注意到它的分母是可以进一步化简的，因此：

然后，我们要进行下一步的拆分。

拆分之后，我们需要解出a，b，c。
对于a来说，根据留数法，是很容易解出来的。

但是对于bx+c，我们能否根据留数法解出来呢？注意到，$x^2-x+1$是恒大于0的。它无法使得出它之外的其他项（即有a的那一项）变为0的。
这时我们使用极限法。

解出a，b对于c我们可以根据特殊值法解出c。

总结：
①若因子$\frac{1}{(x-A{)}^p}$最高次幂的系数，p＝1,可以直接用留数法。
②若因子$\frac{1}{(x-A{)}^p}$其他次幂的系数，p＝2,可以通过特殊值法或者极限法求得。
③因子$\frac{1}{(x^2+Mx+N{)}^q}$一般用特殊值法和极限法求得待定系数。

三、积分
求解出待定系数，然后就可以积分了。
以上述的例2和例3为例，完成上述例子。
例2:

例三：