用等价的数理结构来理解二元一次不定方程并求解

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对于解不定方程而言，其等价的数理结构，却一眼难以看出来。唯有从数的拆分中可以看见其端倪。

心中有数，满眼皆数，心中无数，满眼皆是未知数

二元一次不定方程:

14X+25Y=17 求X,Y的整数解。

一、如何用等价的数理结构来理解它，并求解呢？

其推导过程如下：

首先引入三个叁考量，设b,t,k为整数。

对拆分17这个数的具体步骤如下：

17=17-b+b (保证恒等的条件是两个相反数相加等于零：-b+b＝0，)

=14/14×(17-b)+25/25×b （保证恒等的条件是系数始终保证为1，即：1＝14/14，1＝25/25，分子14和25，加号同与上面表达式的系数一致。）

（什么是恒等？从拆分的角度来讲，数理恒等就是：自己等于自己.）

自己等于自己

当将1/14×(17-b)赋给X, b/25赋给Y时，X,Y的数理结构就从上面的方程中剥离出来了，其型式如下：

X＝1/14× (17-b) —– (1)（注：为X的通解分数表达式）

Y＝ b/25 —– (2)（注：为Y的通解分数表达式）

（备注：引入一个叁考量b的目的是求X,Y的通项表达式，b则需要同时满足（1）,（2）式中的条件。由于要保证Y是整数，则b必须是25的倍数，但是b要同时满足X,Y为整数，则具有一个结构，b＝25×(t+k)，引入t的目的是求通解，引入k的目的是求一组解。）

令b＝25×(t+k)代入（2）式中：

Y= b/25＝25×(t+k) /25＝t+k —— (3)

再将b＝25×(t+k)代入(1)式中：

X＝1/14× [17-25×(t+k) ]

＝1+3×(1+k)/ 14-2k-25t/14 ——-(4)

（由于t用来求通项，则必须是14的倍数，k用来求一组解需要具体的数值，1+k也要是14的倍数，当K=13时，则就相当于满足了有一组解的条件.）

令t1属于整数，t=14t1,k=13,代入（4）式中，则

X＝1+3×(1+13)/ 14-2×13－25×14 t1/14

=1+3-26-25 t1

＝-25 t1-22

将t=14t1,K=13,代入（3）式中

Y= 14t1+13

则X,Y的通解是：

X＝ -25 t1-22

Y= 14t1+13

以上的通解等价于： （注：t1是整数，等价代表通解中的起点不同，上面从－1开始，下面从0开始）

X＝ -25 t1+3

Y= 14t1–1

由此可见对于二元一次不定方程的求解过程中，可以通过对数17的拆分后，找到对应等价的数理结构，实则就是X，Y的通项式。

将X，Y代入整过表达式14X+25Y=17中，从整体上与17的拆份进行比对。

14×(-25t1)+14×3+14×25t1+(-1)×25＝17

0=14×(-25 t1)+14×25 t1　　　　(相当于上面拆分中的－b+b=0,)

17=14×3-1×25　　　　 （17=17,还是没有变。）

对于二元一次不定方程求解，也就是寻找数理结构等价的一个过程。

对于一般的不定方程而言，多数未知量普遍的具有ax+b的型式。如y=ax+b,本身也是一种数理结构恒等，也就是说一个数总是可以拆份成两数之和的。

二、郑重声明,以下纯属个人理解与总结,仅供叁考，不做解题之用

上面解的结果如下：

X＝ -25 t1+3

Y= 14t1-1

对于这组解的结果而言，X,Y都具有at1+b这个结构。

所以对二元一次不定方程而言，真的理解了数理结构后，便可以建立联立方程。

14X+25Y=17 　　（方程本身）

X+Y=T+K 　　　（引入两个量X,Y,其中T用来求通解， K用来求特例：一组解)）

(X+Y=T+K 利用数理结构恒等式，创造一个方程,这就是所有二元一次不定方程数理结构恒等联立方程。推广至三元一次不定方程则是：X+Y+Z=T+K，多元一次T+K也不变，仅代表数理结构等价。）

证明：

ax+by=c

利用常数c的拆分,达到上式系数相同

c=c-t+t=a/a×(c-t)+b/b×t,

（等价拆分，1、添加相反数，产生加减法，2、保证系数为1，1＝a/a,1=b/b）

令：

x=1 /a×(c-t)

y=1/b×t

x+ y= 1 /a×(c-t) +1/b×t=(a-b)/ab×t+c/a　　　

（a-b）/ab>0,T为正, （a-b）/ab<0 T为负）

令T=(a-b)/ab×t,K= c/a　

X+Y=T+K

（因为X+Y是整数，只要保证T,K为整数，则个人理解为数理结构等价之通项式）

三、用等价的数理结构来解以下联立方程：

14X+25Y=17 　　—- (５)

X+Y=-T+K　　　　 (６) （（a-b）/ab<0,T为负,(14-25)/14×25<0 ）

解：(６)×14

14X+14Y=-14T+14K　　—-(７)

(5)-(7)

14X+25Y-14X-14Y=17+14T-14K

11Y=17+14T-14K

Y=(17+14T-14K)/11

=1+(6-14K)/11+14T/11

=1+2×(3-7K)/11+14T/11

令K=2,T=11T1 T1属于整数 (K=2,是需要用一个具体的数来求一组解)

Y=1+2×(3-14)/11+14T1

=14T1-1 —-(8)

将令K=2,T=11T1,代入(6)中

X+Y=-11T1+2 ——(9)

(9)×25-(5)

25X-14X+25Y-25Y=-25×11T1+50-17

X=-25T1+3

或者，将Y=14T1-1,代入(9式)中

X+14T1-1=-11T1+2

X=-25T1+3 (其结果也是一样)

最终结果是：

X=-25T1+3

Y=14T1-1

四、下面尝试利用上面的证明中的表达式做题

x+ y= (a-b)/ab×t+c/a　 （这是上面证明中的表达式）　　

联立方程如下:

14X+25Y=17 　　 —-（10）

X+Y=(14-25)× (T+k)/(14×25) +17/14　　 —-（11）

(T用来做通项参数,K用来求一组解的叁数，注意：t也是有结构的，t=T+k )

解:

X+Y=-11×(T+k)/(14×25) +17/14 (12)

令T=14×25T1 T1属于整数 (因为T必须是14,25最小公倍数)

X+Y=-11T1-11K/(14×25)+17/14 —-(13)

(13)×14-(10)

14X-14X+14Y-25Y=-11×14T1-11×K/25+17-17

-11Y=-11×14T1-11×K/25

Y=14T1+14K /25 —-(14)

令K=25K1 K1属于整数 (要保证Y为整数,则K必为25的倍数)

Y=14T1+25K1 /25

=14T1+K1 —– (15)

K1的值要同时满足X成为整数,在这里先不要赋值。

将T=14×25T1 , K=25K1, Y=14T1+K1,一起代入(11)中

X+14 T1+K1=(14-25)× (14×25T1+25K1)/(14×25) +17/14　

X=-14 T1-K1-11T1-11×K1/14+17/14

=-25T1– K1+(-11K1+3)/14+1

当K1=-1时，代入上式中

X =-25 T1 – (-1)+(-11×(-1)+3)/14+1

=-25 T1+1+1+1

=-25 T1+3

将K1=-1代入（15）

Y =14 T1+K1 =14T1-1

对于(-11K1+3)/14这个表达式,也可以用到辗转相除, 令(-11K1+3)/14=M,求出K1。

五、由此可见，对于一般的二元一次方程

ax+by=c

都可以建立起联立方程如下：

x+y= (a-b)/ab×t+c/a　

以上方程中,t的数理结构数如下：

令t= abT+bK (这个结构是从上面的解题中得出)

x+y= (a-b)/ab×(abT+bK) +c/a　

= (a-b)T+(a-b)K/a +c/a

可见与系数并与叁量T,K有关的联立方程如下:

x+y= (a-b)T+(a-b)K/a +c/a

需要注意的是ax+by=c是一种型式, 如果是ax-by=c,则需要转化为ax+(-by)=c,则-b则需要一起代入上式中

解下面的二元一次不定方程:

ax+by=c (20)

x+ y= (a-b)T+(a-b)K/a +c/a　 —- (21)

解:

(21)× a

ax+ ay= (a-b)aT+(a-b)K +c —-(22)

(22)-(20)

ax+ ay-ax- by = (a-b)aT+(a-b)K +c-c

(a-b) y= (a-b)aT+(a-b)K

y= aT+ K —- (23)

将y= aT+ K代入（21）中

x+ aT+ k= (a-b)T+(a-b)K/a+c/a

x = (a-b)T+(a-b)k/a +c/a-aT-K

=-bT+k+(c-bk)/a-K

=-bT+(c-bK)/a —-(24)

可见只要保证(24)中的(c-bk)/a是整数,求出k的值,则y= aT+ k,则就满足了.

虽然讲,令M=(c-bK)/a，还是原来的方程一样,也要利用辗转相除,可是只需要求值就好 .

对不定方程来身而言，两个未知量一个方程，则可以利用数理结构恒等，创造一个联立方程，能够把“通项”与“求一组解”分离开来,建立统一表达，分别考查，也至少多了一种理解。

从结构中可以看到x中有K,y中有K,这也许就是“你中有我,我中有你”.这是我以前所不知的。

六、个人理解

如果将(23)与(24)代入(20)方程中

a×[-bT+(c-bk)/a] +b×(aT+k) =c

另外,从一个数的拆分角度来看,此题中:

c = c+(-abT–bk) +(baT+bk)

则(-abT–bk) 与(baT+bk)互为相反数

从拆分的解度讲，数理恒等只有自己等于自己.如添加相反数原理,如c=c-t+t,也等价如c=c/2-t+ c/2+t

理解等价的数理结构,引入叁考量T,K，理解了T是ab的最小公倍数后,只需要考查叁考量K这一个数。而K只是一个待定的具体的数，而未知量X,Y则不见了。

等价的数理结构也许有很多的类型，熟知的添加相反数原理恒等,如c=c-t+t,

但 y= aT+ k属于结构恒等吗？如果将aT当成一个整体。两数相加必有和，逆向思维，一个数总是可以拆分成两数之和，可行吗？

例如概念恒等中“整数+整数＝整数“，“实数+实数＝实数”，能反过来讲“整数＝整数+整数”， “实数＝实数+实数”，是算概念等价还是结构等价呢？

y=aT+K

“做一题，出三题”，这是理念。

寻找数理的根源，喜欢做自己出的题目，这也许就是兴趣所至吧！