数学概念 —— 奇异性（Singularity，Vertical tangent）

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0. 基本定义

Singularity (mathematics)

数学上的奇异性一般是指，函数在该点未定义（not defined，比如取值为无穷），或者不可微（fails to be well-behaved）。

1. 举例

• $f(x)=\frac1x$：在 $x=0$ 处未定义；
• $g(x)=|x|$：在 $x=0$ 处不可微（左导数不等于右导数）；
• $y^2=x$ 也就是 $y=\sqrt x, x \geq 0$，在点 $(0, 0)$ 处

  虽然有定义，但是在 $x=0$ 处为 vertical tangent，也即在该点处的导数为无穷大（又因为导数其实在几何上意味着斜率 slope，导数为无穷大，也就是说正切为无穷大，$\tan (\pi/2)$）；

  limh→0f(a+h)−f(a)h=+∞orlimh→0f(a+h)−f(a)h=−∞

  $$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = {+\infty}\quad\text{or}\quad\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = {-\infty}$$