数学基础 — 微积分之部分分式

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部分分式分解

部分分式分解是将一个复杂的分式分解为几个简单分式的过程。它常用于积分、解方程或简化表达式。部分分式分解通常应用于有理函数，即分子和分母都是多项式的分式。

步骤

1. 确定多项式的形式：
   • 如果分母是一个多项式的乘积形式，如 $(x-a)(x-b)\cdots$，可以分解为简单的部分分式。
   • 对于简单的分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式，且 $\text{deg}(P)<\text{deg}(Q)$，可以进行部分分式分解。
2. 将分母多项式分解为一次因子和不可约的二次因子：
   • 如果 $Q(x)$ 可以分解为一次因子和不可约的二次因子，可以将其分解为部分分式形式。
   • 对于一次因子 $(x-a)$，部分分式为 $\frac{A}{x-a}$。
   • 对于不可约的二次因子 $(x^2+bx+c)$，部分分式为 $\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}$。
3. 写出部分分式的形式：
   • 例如，如果 $Q(x)=(x-a)(x-b)(x^2+bx+c)$，则：
     $$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{Cx+D}{x^2+bx+c}$$
     
4. 确定系数：
   • 通过将右边的分式化为一个单一的分式形式，求出系数。通常通过将等式两边乘以 $Q(x)$，然后比较两边的系数来确定未知系数 $A,B,C,$ 和 $D$。
5. 解方程：
   • 比较系数或使用其他方法解出未知系数。

示例

对分式 $\frac{2x+3}{(x-1)(x^2+x+1)}$ 进行部分分式分解：

1. 分解分母：
   $$(x-1)(x^2+x+1)$$
   
2. 设定部分分式形式：
   $$\frac{2x+3}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$$
   
3. 化为同分母：
   $$2x+3=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)$$
   
4. 展开和比较系数：
   $$2x+3=A(x^2+x+1)+(B{x}^2+Cx-Bx-C)$$
   $$2x+3=(A+B)x^2+(C-B+A)x+(A-C)$$
   
   
5. 解方程：
   通过解方程组确定 $A,B,C$ 的值。
   

完成以上步骤后，你会得到分解后的部分分式。