杂质半导体中的载流子浓度

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1.电子（空穴）占据施主能级 $\small E_D$ (受主能级 $\small E_A$ )的概率有多大，杂质未电离的几率？

那么对于施主来说，施主未电离几率（电子占据施主能级的几率） $\small f_{D}(E)=\frac{1}{1+\frac{1}{2}exp(\frac{E_D-E_F}{k_0T})}$

施主能级要么是有一个电子占据，自旋方向任意，要么就是离化了（和费米分布有点差别）

受主未电离的几率 $\small f_{A}(E)=\frac{1}{1+\frac{1}{2}exp(\frac{E_F-E_A}{k_0T})}$ ，既然有没有电离的几率，施主离化（电离）的几率， $\small 1-f_{D}(E)=\frac{1}{1+2exp(-\frac{E_D-E_F}{k_0T})}$ ，这就是电离的可能性，同样受主电离的几率 $\small 1-f_{A}(E)=\frac{1}{1+2exp(-\frac{E_F-E_A}{k_0T})}$ ，涵盖了所有情况

若施主杂质 $\small N_D$ ，施主能级上的电子浓度 $\small n_D$ ——–未电离的施主浓度

$\small n_D=N_Df_{D}(E)=\frac{N_D}{1+\frac{1}{2}exp(\frac{E_D-E_F}{k_0T})}$ ,这就是参杂了这么多电子，没有电离的施主，同样离化的施主浓度就出来了，离化的施主带正电 $\small n_D^+=N_D-n_D=\frac{N_D}{1+2exp(-\frac{E_D-E_F}{k_0T})}$ ,这些是离化的施主

那么定量表达式就都有了

若受主浓度 $\small N_A$ ，受主能级上的空穴浓度 $\small p_A$ ——–未电离的受主浓度

$\small p_A=\frac{N_A}{1+\frac{1}{2}exp(\frac{E_F-E_A}{k_0T})}$ ,这是掺入的受主当中有这么多没有离化

离化的受主杂质 $\small p_A^-=N_A-p_A=\frac{N_A}{1+2exp(-\frac{E_F-E_A}{k_0T})}$

这就是两种杂质的荷电情况

对于杂质半导体我们以N型半导体为主线（N型的处理方式与P型是一样的）

讨论杂质电离情况与 $\small E_D-E_F$ 的值有关

若>k_0T”>,则 $\small n_D^+ \approx N_D,n_D \approx 0$ ,其实我们还可以从能带图上看，杂质能级比费米能级高了这么多，代表有电子的概率非常小，所以几乎全部电离到导带上去了

若 $\small E_D=E_F$ ,费米能级和施主能级重合，则 $\small n_D^+=\frac{1}{3}N_D,n_D=\frac{2}{3}N_D$ ,这个条件非常重要，费米能级和施主能级重合，刚好有三分之一离化，另外三分之一没有离化

做这么几个式子，主要是准备工作

2.N型半导体的载流子浓度？

前边我们介绍了本征半导体的载流子浓度，我们怎么求的？

$\small n_i=\sqrt{N_CN_v}$ 然后再乘以指数项（用本征半导体的电中性条件，然后再代入各自的表达式）

对于常用的半导体来说，费米能级在禁带中线

我们按照相似的思路处理

首先列出N型半导体的电中性条件(在一个N型半导体里面，单位体积正电荷和负电荷总量相等)

一个N型半导体，以电子导电为主，施主离化提供了一些导带电子，施主本来是中性的，离化之后。形成正电中心，对于一个N型半导体，价带电子获得能量跃迁到导带（这个叫本征激发），电子和空穴成对出现，对于一个N型的杂质半导体，导带电子的来源渠道有两个，（杂质离化和本征激发）施主里面，有离化的和非离化的，这样的话，我们可以写电中性条件， $\small -qn_0+qn_0^++qp_0=0$ ,我们把它化简以下， $\small n_0=n_D^++p_0$ ,在电中性条件的表达式里面，把各自的表达式代入进去

$\small N_0exp(-\frac{E_c-E_F}{k_0T})=\frac{N_D}{1+2exp(-\frac{E_D-E_F}{k_0T})}+N_vexp(\frac{E_v-E_F}{k_0T})$ ,大家注意在这个关系式里面，对于一个N型半导体，就费米能级我们还不清楚

我们想要求出费米能级的解析式，这个式子太过于复杂

这样的一个对N型半导体来说，普遍适用的关系，按照一定条件分段讨论，施主的荷电状态分两种，温度很低，施主一定不能好好电离，在升高就会电离的更多

我们应该根据样品温度区间的不同分段讨论，我们应该从低到高来
（1）低温区间，杂质离化的不多，低温弱电离区——–指的是温度极低，杂质离化很少，所对应的温度区间(温度的分界线很模糊，我们可以把每个区间说清楚)，条件可以等效成 $\small n_D^+<<N_D$ ,在低温弱电离区 $\small N_cexp(-\frac{E_c-E_F}{k_0T})=\frac{N_D}{2}exp(\frac{E_D-E_F}{k_0T})+p_0$ ，杂质离化的很少，可见本征激发的贡献更少，可以直接忽略，电中性条件退化为 $\small N_cexp(-\frac{E_c-E_F}{k_0T})=\frac{N_D}{2}exp(\frac{E_D-E_F}{k_0T})$ ，得到 $\small \frac{N_D}{2N_C}exp(\frac{E_c+E_D-2E_F}{k_0T})=1$ , $\small E_F=\frac{E_c+E_F}{2}+\frac{1}{2}k_0T\ln\frac{N_D}{2N_c}$ ,这就是在低温弱电离区，费米能级的表达式， $\small E_F=\frac{E_c+E_F}{2}+\frac{1}{2}k_0T[\ln{\frac{N_D}{2}}-\ln{\frac{2(2\pi m_n^* k_0)^{\frac{3}{2}}}{h^3}}-\frac{3}{2}\ln T]$ ,既然温度非常低，0″>的时候，费米能级0}T\ln T=0″>, $\small E_F=\frac{E_c+E_F}{2}$ ，在施主能级和导带顶的中心位置上，费米能级高于杂质能级，所以没有办法好好电离

我们从 $\small \frac{dE_F}{dT}=\frac{1}{2}k_0\ln{\frac{N_D}{2N_c}}+\frac{1}{2}k_0T[-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{T}] =\frac{1}{2}k_0[\ln{\frac{N_D}{2N_c}}-\frac{3}{2}]$ ，令这个式子=0，我们求出极值点， $\small when ~~~~e^{\frac{3}{2}}=\frac{N_D}{2N_c},N_c=0.11N_D$ , $\small E_F$ 达到极大值， $\small N_c<0.11N_D$ , $\small E_F$ 随T上升增大，极值点左边，当0.11N_D”>, $\small E_F$ 随T上升下降,都是半导体硅，都在低温弱电离区，但是施主浓度大小不一样，达到极大值的时候，温度是不一样的，表明 $\small N_D$ 越大， $\small E_F$ 达到极大值需要的温度高，费米能级达到极大值所需要的温度越高

费米能级的极大值出现在低温弱电离的情况下（温度非常高，本征激发比施主能级高的多，这个时候变得电子空穴一样多，本征激发为主费米能级跑中间去了），费米能级不是在温度高的时候，就高，电子空穴一样多，费米能级只能在中线，将低温弱电离区得到的费米能级表达式

$\small E_F=\frac{E_c+E_F}{2}+\frac{1}{2}k_0T\ln\frac{N_D}{2N_c}$ 代入 $\small N_cexp(-\frac{E_c-E_F}{k_0T})$ 中， $\small n_0=N_cexp(-\frac{E_c-E_F}{k_0T})=N_cexp(-\frac{E_c-\frac{E_c+E_D}{2}-\frac{1}{2} k_0T\ln {\frac{N_D}{2N_c}}}{k_0T})$

$\small =N_cexp(-\frac{\Delta E_D}{2k_0T})(\frac{N_D}{2N_c})^{\frac{1}{2}}=[\frac{N_DN_c}{2}]^{\frac{1}{2}}exp(-\frac{\Delta E_D}{2k_0T})$

$\small =AT^{\frac{3}{4}}exp(-\frac{\Delta E_D}{2k_0}\cdot \frac{1}{T})$ ,取对数

$\small n_0T^{-\frac{3}{4}}=B-\frac{\Delta E_k}{2k_0}\cdot \frac{1}{T}$ ,用N型样品，然后做低温下的变温实验

也就是设定一个温度 $\small T_1$ ，设定不同温度，测得不同的浓度，然后作图，斜率就是 $\small -\frac{\Delta E_D}{2k_0}$

（2）中间电离区，温度升高，杂质离化变多，所对应的温度区间 ，在中间电离区，费米能级可以降至 $\small \frac{E_c+E_F}{2}$ 以下区域，当 $\small E_D=E_F$ ， $\small \frac{1}{3}N_D$ 离化， $\small \frac{2}{3}N_D$ 未离化，显然是中间电离区，但是又没有强电离

（3）温度继续升高，杂质离化继续增加，90%以上离化，就变成了强电离区，杂质充分电离，杂质充分电离，温度老在这边升高，杂质充分离化，有两种情况（1.本征激发忽略不计 2.温度继续升高，本征激发不可忽略），我们说的强电离区说的是杂质充分电离，本征激发可以忽略不计所对应的温度区间———半导体器件和集成电路正常工作的区间

电中性条件n_0=N_D”>，这就是强电离区的电中性条件

此时载流子浓度就出来了

费米能级和电子浓度有一一对应关系， $\small n_0=N_cexp(-\frac{E_c-E_F}{k_0T})=N_D$

$\small E_F=E_c+k_0T\ln{\frac{N_D}{N_c}}$ ,这就是在强电离情况下费米能级的表达式，

eg: 室温下的硅，若施主浓度 $\small N_D=10^{15}cm^{-3},N_c=2.8\times 10^{19} cm^{-3}$ ，在这个情况下，往里面一代，

我们就可以得到 $\small E_F=E_c-0.266ev$ ,费米能级在导带底之下0.0266ev的地方，这个距离是 $\small 0.266ev$

表明相对导带底的距离，这样一看就知道是非简并半导体，N型半导体满足玻尔兹曼分布条件，大于 $\small 10k_0T$

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杂质半导体中的载流子浓度

2.N型半导体的载流子浓度？

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