小波变换之离散小波变换

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离散小波变换（DWT）

(DiscreteWaveletTransform, DWT)离散小波变换是一种近似的小波变换方法，将信号分解成不同尺度的近似系数和细节系数。DWT使用离散的小波函数和离散的时间尺度，通过滤波和下采样操作来实现信号的分解。通常，DWT将信号分解为一组高频和低频子信号。

关于dwt，matlab官方文档中，给出了wavedec小波分解函数使用图解，对于信号X，通过小波变换后（带通滤波器）分解为一个高通滤波器和一个低通滤波器串联，进而分解出相对高通系数cD1和近似系数cA1，再将近似系数分解为相对高通系数cD2和近似系数cA2，进一步分解为cD3和cA3，如下图所示，为3层小波分解

离散小波变换的一级分解公式如下：
$$\begin{gathered} A_1(n)=\sum _{k}f(k)\ast h(k-n) \\ {D}_1(n)=\sum _{k}f(k)\ast g(k-n) \end{gathered}$$
其中:$A_1(n)$是低频( 近 )系数。$D_1(n)$是高频( 细节 )系数。$h(k)$和$g(k)$分别是小波分析滤波器的低通和高通滤波器系数。离散小波变换允许信号在不同尺度上的分解和重构，以便分析不同频率成分。
调用格式如下；

[c,l] = wavedec(signal,n,wavename) 

其中c为输出的近似系数和细节系数，l表示了各部分信号的长度，signal为待处理信号，n表示分解层数，wavename为使用的小波函数名称，其中c和l的排列顺序在图中已给出了说明。
该函数采用了离散正交化小波变换分解，所谓正交化即保证每一次分解后的数据长度不变。
示例代码

% 生成信号 Fs = 1000; % 采样频率 t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % 时间向量 x = cos(2*pi*50*t) + cos(2*pi*120*t); % 原始信号 % 进行小波变换 wname = 'db4'; % 小波名称 level = 3; % 分解级数 [C,L] = wavedec(x,level,wname); % 小波分解 % 提取近似系数和细节系数 A = cell(1,level); D = cell(1,level); for i = 1:level A{ 
   i} = wrcoef('a',C,L,wname,i); % 近似系数 D{ 
   i} = wrcoef('d',C,L,wname,i); % 细节系数 end % 绘制结果 figure; subplot(level+1,1,1); plot(t,x); title('原始信号'); for i = 1:level subplot(level+1,1,i+1); plot(t,A{ 
   i},t,D{ 
   i}); title(['近似系数和细节系数（级别 ' num2str(i) '）']); legend('近似系数','细节系数') end 

结果图：
另一种使用方法：

% 生成信号 Fs = 1000; % 采样频率 t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % 时间向量 x = cos(2*pi*50*t) + cos(2*pi*120*t); % 原始信号 % 进行小波变换 wname = 'db4'; % 小波名称 level = 3; % 分解级数 [C,L] = wavedec(x,level,wname); % 小波分解 plotDetCoefHelpper(x,C,L);%借助绘图帮助函数 function plotDetCoefHelpper(signal,C,L) m = length(L); %记录近似系数和细节系数的个数，level+1 subplot(m,1,1) plot(signal); %绘制原始信号 title("original signal") sum = 0; for i = 1:m-1 subplot(m,1,i+1) if i == 1 plot(C(1:L(i)));%绘制近似系数 title('Approximation Coefficients') else sum=sum+L(i-1); plot(C(sum+1:L(i)+sum));%绘制细节系数 title(['Level ' num2str(i-1) ' Detail Coefficients']); end end end